关于排列组合的深入理解

人靠自己努力

排列组合可能是高中数学中最不好掌握的内容了。上大学的时候，跟来自其他省市的同学聊天，他们大多也都是如此感触：不容易找到思路，不好下手；做完了之后心里没底。想要靠大量刷题或者硬记公式都不能搞定这一块。
1.不擅长将题目中的文字转化成数学模型是大家不好理解排列组合题目的一个原因。
比如，

“从4名同学中选出2人，分别坐在两把椅子上，有多少种选法？”
“有2名同学进入一间有4把椅子的会议室，问有多少种坐法？”

上面两个问题是同一个数学模型吗？
再比如，

“从4名同学中选出2名站成一队，问：
1）有多少种选法？
2）有多少种站法？
3）有多少种结果？

上面这三种问法是同一个问题吗？
关于第二个问题，同时列在一起了，大家可能比较好回答。但是对于第一问题，估计很多人会有疑惑的。
2.考试中遇到的题目，往往是分类原理、分步原理、排列组合、概率公式等几个知识的简单综合。这个时候，大家往往对采用哪个方法，利用哪个公式产生疑惑，从而难以下手，比如下面这个分步原理和组合公式相结合的问题：

“甲、乙、丙、丁四个公司承包9项工程，甲公司承包3项，剩余6项平均分给乙、丙、丁三个公司，问共有多少种承包方式？”

对于上面这些疑惑，个人觉得首先得建立起一个知识体系，然后得对排列组合有一个透彻的掌握。
一.概率部分相关概念之间的逻辑关系

概率部分的概念挺多，看起来也都挺简单的。但他们的准确意义和他们之间的逻辑关系，不是所有人都能说的清楚了。
随机试验：对不确定现象所进行的观察或试验
样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。
基本事件：随机试验的任意一个结果，是样本空间的一个元素。
随机事件：是样本空间的子集，包含0个、1个或多个基本事件。
古典概率模型： P=\frac{随机事件集合的元素数}{样本空间集合的元素数}
加法、乘法计数原理：完成一件事的方法数，用来计算随机事件这个集合中的元素数和计算样本空间这个集合中的元素数。
排列组合：其实是乘法计数原理的一个特例，用来简便、快捷的求解“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列组合的个数”这类特殊的计数问题。
用下面这个例子来展示上面几个概念：

有5名男同学、3名女同学，从中随机选出3人作为运动会的志愿者团队，问志愿者团队中由2名男同学、1名女同学组成的概率是多少？

我们再举一个例子：连续抛掷两次硬币，求两次都是正面的概率。

二.关于排列组合的深入理解

后面的讨论会以这个例子来展开：

从4名同学中选出2人，分别坐在两把椅子上，有多少种选法？

这是最基本的排列问题，可以用分步计数原理来证明：假设4名同学分别为甲、乙、丙、丁，2把椅子为A椅子、B椅子。
第一步，确定坐A椅子的人：从4人中任选一人，有4种选法；
第二步，确定坐B椅子的人：从剩余的三人中任选一人，有3种选法，
根据分步计数原理，共有4x3=12种方法，相应的坐法如下：


上面的基本过程描述完成后，我们再来思考下面几个问题。
1.排列的定义：“排队”vs“标记”

我们学习排列组合的时候，一上来就会面对这个定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。而且因为排列组合的题目经常涉及排队问题，这就导致我们对排列组合产生一个呆板且深刻的印象：排队。
其实，“排列组合”更多的并不是解决“排队”问题，比如：

1）从4名同学中选出2人，分别参加跳远、跳高两项运动，有多少种选法？
2）一座房子共有4扇门，给其中的两扇门分别刷成红色和绿色，有多少种方法？

当我们把这些题目列在一起了之后，我们可以看到，在排列组合问题中，更多的不是解决“排队”的问题，更多的是“标记”问题：不管是用颜色进行标记、用椅子进行标记还是用运动进行标记。所以我们可以把排列的定义更改为：从n个不同的元素中选出m个元素，用不同的记号进行“标记”，总的方法数是多少？
后面再遇到排列组合问题的时候，用“标记”的思想来考虑问题，可能会更容易有思路。
2.排列“有序性”产生的根本原因

方法1：第一步确定坐A椅子的人，第二步确定坐B椅子的人。
方法2：第一步确定坐B椅子的人，第二步确定坐A椅子的人，结果会不同吗？

我们先从集合的角度来回答这个题目：不管计数过程如何，最终产生的都是样本空间中的样本点，如果样本点一致，那么两个样本空间就是一致的，结果就是相同的。显然，方法1和方法2产生的样本空间是相同的。
其实，排列有序性产生的根本原因就在于：利用分步计数原理从n个不同的元素中取出m个元素时，每一步都对n个元素“遍历”了一遍，每一步对于n个元素的“选择权利”都是相等的。所以会产生（甲，乙）、（乙，甲）这两个结果，然后用不同的记号来对这两个结果进行“标记”：（甲A，乙B）、（乙A，甲B）。
大家在面对排列组合问题时，特别容易产生一种“先选优势错觉”：第一步先给A椅子挑选人，那么A椅子的选择肯定比B椅子多；轮流抽奖的时候，先抽的人肯定比后抽的人有优势。如何破除这种错觉呢？我们只能再强调一遍：分步计数的每一步都是对所有元素“遍历”了一遍，每一步对所有元素的“选择权利”是相等的。
说到这里，大家可能都不知道自己到底是明白了还是没明白，那么请思考这一题：

将4名同学平均分成两组，问共有多少种方法？

大家能否参考顺序产生根源的解释来理解上面这个平均分组问题？
3.分步计数：“多数安排给少数”vs“少数安排给多数”

题目1：“从4名同学中选出2人，分别坐在两把椅子上，有多少种方法？”
题目2：“有2名同学进入一间有4把椅子的会议室，问有多少种坐法？”

如果我们对“标记”的定义有了清楚的理解，那么上面这两个问题其实就很容易抽象出同一个数学模型了：从4个不同的元素中选出2个，用不同的记号进行标记，总的方法数是多少？只不过，题目1是用椅子来标记人，题目2是用人来标记椅子。
可能大家对于上的解释还是缺少一种“踏踏实实”的感觉，那我们再用分步计数原理来梳理一遍。
题目1的分步计数算法已经在前面写过了，也是大家非常熟悉的过程。
题目2如果用“标记”的思想：用2个人来标记4把椅子，分步计数过程与题目1的过程是一模一样的，没有什么好说的了。
在这里我们想描述的是“把少数分配给多数”的分步计数过程，即从椅子的角度来计算方法数。
假设椅子分别为A、B、C、D，两名同学分别为甲、乙，分步计数过程如下：
第一步，给椅子A进行安排。有3种方法（甲、乙、空），分为两类：A选空有1种方法，A选人有两种方法；
第二步，给椅子B进行安排。若A选空，则B仍然有3种选择；若A选人，则B有两种选择；
第三步，给椅子C进行安排。若A选空，B有3种选法，C有2种选法；若A选人，B选人，则C只能选空，若A选人，B选空，则C有两种选法。
第四步，椅子D没有选择。
上面的分类说法比较乱，画个图看看就比较清楚了：




所以，不管是“用少数标记多数”还是“用多数标记少数”，都可以用计数原理来求解。
只不过，“用少数标记多数”会大大减少思考量，所以遇到问题的时候尽量抽象成为“用少数标记多数”的模型。
三.排列组合特殊题型

在平常练习中为了加大难度，大家会遇到排列组合的特殊题型，例如特殊元素特殊对待法、相邻元素捆绑法、不能相邻插空法、相同元素隔板法等，在这里就不再细说了，有机会再单独讲。但是如果真正理解了排列组合的原理，这些特殊问题也是非常容易解决的。

倪小平

全国卷的高考考排列组合好像很简单吧[调皮][调皮]

上吊的狼

我们老师说，就怕出简单，简单的你不会别人会，你会你也算错，难的，你不会别人也不会，大家才一样。

罗弘

高考不就是要体现出区分度吗，太难了不就没有区分度了[白眼][白眼]

小张说物理

剩下的6项工程平均分给乙丙丁这里还不太懂，我理解是三步：1.甲选C3/9; 2.剩下6个分三组; 3.捆绑成三个大组再标记乙丙丁A3/3。其中第2步还是不太理解：6个分三组，不做顺序区分，应该怎么理解呢？还是可以把第2.3步整合起来理解计算？

小心有毒

抱歉回复晚了 最近忙个项目。第一种做法，也就是你说的2、3步合一：C26C24C22;第二种做法：先均匀分组C26C24C22/A33,然后再分配给三人：即乘以A33。

虚风

这么好的分析！！

立耳朵

6本书平均分3堆用顺序产生的根源是分步求解除以A33很好理解，但如果非平均分堆，如分为1.2.3这三堆，按分步乘法计数原理，不用除以A33，用枚举法很好理解，但是怎么把它和平均分堆用顺序产生的根源是分步统一起来呢

精神猫

我认为 第一个例子有待商榷 只是想选出两位同学的话应该是组合吧

秭归橙子

选出两位同学是组合 给两位同学安排不同的椅子就是排列了